Окружность ван Ламуна

В 2000 году голландец ван Ламун поставил чисто планиметрическую задачу ( проблема 2010830), звучащую следующим образом: 

Треугольник \(ABC\) делится медианами на 6 равновеликих треугольников. Доказать, что центры окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

Как ни странно, это действительно так. Можете поэкспериментировать с чертежом ниже а так же проследить последовательные построения для произвольного треугольника:

Доказательство, предъявленное Kin Y. Li в 2001 году, довольно простое и познавательное, поэтому я привожу его перевод ниже:

Доказательство(перевод отрывка статьи Concyclic Problem)

Для доказательства используем обратную теорему к теореме о секущих ( о том, что если 4 точки удовлетворяют указанному в теореме соотношению, то они лежат на окружности). Для треугольника \(ABC\), пусть \(G\) будет центром тяжести, \(D, E, F\) – середины сторон \(BC, CA, AB\) соответственно (см. рис 1).

Рис 1

Обозначим \(O_1, O_2, O_3, O_4, O_5, O_6\) – центры окружностей, описанных около треугольников \(\triangle DBG, \triangle BFG, \triangle FAG, \triangle AEG, \triangle ECG\) и \(\triangle CDG\) соответственно (см. рис 2).

Рис 2

 В дальнейшем отображение 6 описанных окружностей лишь усложнит чертёж, поэтому мы оставим только центры окружностей.

Центры описанных окружностей, как известно, находятся на пересечении серединных перпендикуляров. Чтобы найти центр окружности, описанной около \( \triangle FAG \) например, построим серединные перпендикуляры к двум сторонам. Удобней выбрать стороны \(AG\) и \(FG\), так как они также являются сторонами других маленьких треугольников, что сокращает работу. Построив соответствующие серединные перпендикуляры к сторонам мы обнаруживаем несколько параллельных линий и параллелограмм!
Линии \(O_3O_4, O_6O_1\) – серединные перпендикуляры отрезков \(AG, GD\), соответственно. Таким образом, они перпендикулярны линии \(AD\) и находятся на расстоянии в половину \(AD\) друг от друга (см. рис 3)

Рис 3

Аналогично, линии \(O_1O_2, O_4O_5\) перпендикулярны линии \(BE\) и находятся на расстоянии в половину \(BE\) друг от друга.
Покажем, что точки \(O_1, O_2, O_3, O_4\) лежат на одной окружности, пользуясь обратной теоремой о секущих.
Пусть \(К\) – пересечение линий \(O_1O_2, O_3O_4\) и \(L\) – пересечение линий \(O_4 O_5, O_6 O_1\) ( см. рис 4).

Рис 4

Поскольку площадь параллелограмма \(K O_4 L O_1\),

$$\frac{1}{2} AD ⋅ K O_4 = \frac{1}{2} BE ⋅ KO_1, $$

То получаем, что \(\frac{K O_1} {K O_4} = \frac{AD}{ BE} \). Теперь, когда мы получили соотношение \(KO_1\) и \(KO_4\), изучим \(K O_2\) и \(K O_3\).
Чтобы найти \( \triangle KO_2O_3\), сначала рассмотрим его углы. Так как \( KO_2 \perp BG \), \(O_2O_3 \perp FG\)  и \( KO_3 \perp AG\), мы видим, что \( \angle KO_2O_3 = \angle BGF\) и \(\angle KO_3O_2 = \angle FGA \) (см рис 5).  Тогда \( \angle O_2KO_3 = \angle DGB\). Заметим, что углы треугольника \(\triangle KO_2O_3\) равны трём углам при вершине \(G\) на левой стороне отрезка \(AD\).

Рис 5

Наконец, построим точку \(М\) на линии \(AG\) таким образом, что \(MC\) параллельно \(BG\). Так как \(\angle MCG = \angle BGF\) (как соответственные) и \(\angle GMC = \angle BGD\) (как накрест лежащие), мы видим, что  \(\triangle K O_2O_3\), подобен \(\triangle MCG\).

Рис 6

Стороны \( \triangle MCG\) легко выразить через \(AD, BE, CF\). Так как отношение \(AD\) к \(BE\) выражено через \(KO_1\) и \(KO_4\), то это именно то, что нам нужно. Заметим, что треугольники \( \triangle MCD, \triangle GBD\) равны, так как \( \angle MCD = \angle GBD\) (\(MC\) параллельно \(GB\)), \(CD = BD\) и \(\angle MDC = \angle GDB\) (см рис 7).

Рис 7

Тогда
$$MG = 2GD = \frac{2}{3} AD,$$
$$MC = GB = \frac{2}{3} BE$$
(и \(CG = \frac{2}{3} CF\) . Это, кстати, означает, что три медианы треугольника можно сопоставить параллельным переносом в треугольник! На самом деле, этот хорошо известный факт и был причиной рассматривать \( \triangle MCG\).) Имеем:
$$ \frac{KО_3}{KО_2} = \frac{MG}{MC} = \frac{AD}{BE} = \frac{KO_1}{KO_4}.$$

Получаем, что \( KO_1 ⋅ KO_2 = КО_3 ⋅ KO_4\), что означает, \(O_1, O_2, O_3, O_4\) лежат на одной окружности.

Аналогично можно заметить, что \(O_2, O_3, O_4, O_5\) тоже лежат на одной окружности (с помощью параллелограмма, построенного на линиях \(O_1O_2, O_4O_5, O_2O_3, O_5O_6\) (см. рис 8)) и что \(O_3, O_4, O_5, O_6\) тоже лежат на одной окружности.

Рис 8

Таким образом показано, что все точки \(O_1, O_2, O_3, O_4, O_5, O_6\) лежат на одной окружности - окружности ван Ламуна.